Moment Dynamique et Matrice d'Inertie

1. Définitions fondamentales

Moment cinétique

Le moment cinétique (ou moment angulaire) d'un solide en un point \(O\) est défini par :

\[\vec{L}_O = \int_{\text{Solide}} \vec{OM} \times \vec{v}_M \, dm\]

où : - \(\vec{OM}\) : vecteur position du point courant \(M\) - \(\vec{v}_M\) : vitesse du point \(M\) - \(dm\) : élément de masse

Moment dynamique

Le moment dynamique (ou moment des forces) en un point \(O\) est la somme des moments de toutes les forces appliquées au solide :

\[\vec{\mathcal{M}}_O = \sum_i \vec{OM}_i \times \vec{F}_i\]

où \(\vec{F}_i\) sont les forces externes appliquées.

Théorème du moment dynamique

Le théorème fondamental de la dynamique du solide indique que la dérivée du moment cinétique égale le moment dynamique :

\[\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{\mathcal{M}}_O\]

2. Matrice d'inertie

Définition générale

La matrice d'inertie d'un solide en un point \(O\) est une matrice \(3 \times 3\) symétrique qui caractérise la répartition de la masse du solide autour de ce point.

Expression de la matrice d'inertie

En repère orthonormé \((O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\), la matrice d'inertie s'écrit :

\[\mathbb{I}_O = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix}\]

Éléments de la matrice d'inertie

Moments d'inertie (termes diagonaux)

\[I_{xx} = \int_{\text{Solide}} (y^2 + z^2) \, dm\]

\[I_{yy} = \int_{\text{Solide}} (x^2 + z^2) \, dm\]

\[I_{zz} = \int_{\text{Solide}} (x^2 + y^2) \, dm\]

Interprétation : \(I_{ii}\) mesure la résistance à la rotation autour de l'axe \(i\).

Produits d'inertie (termes hors-diagonaux)

\[I_{xy} = I_{yx} = \int_{\text{Solide}} xy \, dm\]

\[I_{xz} = I_{zx} = \int_{\text{Solide}} xz \, dm\]

\[I_{yz} = I_{zy} = \int_{\text{Solide}} yz \, dm\]

Interprétation : Les produits d'inertie caractérisent le déséquilibre de la répartition de masse.

Propriétés de la matrice d'inertie

Symétrique : \(I_{ij} = I_{ji}\)
Définie positive : tous les moments d'inertie sont positifs
Additive : pour plusieurs corps, on additionne les matrices

3. Relation entre moment cinétique et matrice d'inertie

Pour une rotation autour d'un axe fixe

Lorsqu'un solide tourne avec une vitesse angulaire \(\vec{\omega}\) autour d'un axe passant par \(O\), le moment cinétique en \(O\) s'exprime comme :

\[\vec{L}_O = \mathbb{I}_O \cdot \vec{\omega}\]

En composantes :

\[\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}\]

Démonstration

En partant de la définition du moment cinétique :

\[\vec{L}_O = \int_{\text{Solide}} \vec{OM} \times \vec{v}_M \, dm\]

Pour un solide tournant autour de \(O\), on a \(\vec{v}_M = \vec{\omega} \times \vec{OM}\), donc :

\[\vec{L}_O = \int_{\text{Solide}} \vec{OM} \times (\vec{\omega} \times \vec{OM}) \, dm\]

En utilisant la formule du double produit vectoriel : \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})\)

\[\vec{L}_O = \int_{\text{Solide}} [\vec{\omega}(|\vec{OM}|^2) - \vec{OM}(\vec{OM} \cdot \vec{\omega})] \, dm\]

En composantes sur les axes, on retrouve bien la relation \(\vec{L}_O = \mathbb{I}_O \cdot \vec{\omega}\).

4. Moment dynamique et équation du mouvement

Équation du mouvement de rotation

Le théorème du moment dynamique s'écrit :

\[\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{\mathcal{M}}_O\]

Pour un solide tournant autour d'un axe fixe :

\[\mathbb{I}_O \cdot \frac{d\vec{\omega}}{dt} = \vec{\mathcal{M}}_O\]

ou en notant \(\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}\) :

\[\mathbb{I}_O \cdot \vec{\alpha} = \vec{\mathcal{M}}_O\]

Cas d'une rotation autour d'un axe principal

Si \(\vec{\omega} = \omega \vec{e}_z\) (rotation autour d'un axe principal d'inertie), la relation se simplifie :

\[I_{zz} \cdot \alpha = \mathcal{M}_z\]

5. Axes principaux d'inertie

Définition

Les axes principaux d'inertie sont les axes pour lesquels la matrice d'inertie est diagonale, c'est-à-dire où tous les produits d'inertie s'annulent.

Matrice diagonale

Dans le repère principal (noté avec des astérisques), la matrice d'inertie devient :

\[\mathbb{I}_O^* = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}\]

où \(I_1 \leq I_2 \leq I_3\) sont les moments principaux d'inertie.

Avantages

Formules simplifiées
Les moments cinétique et dynamique sont alignés avec la rotation
Pas d'effet d'équilibrage dynamique

6. Théorème de Steiner (Théorème des axes parallèles)

Énoncé

La matrice d'inertie d'un solide en un point \(O\) est liée à la matrice d'inertie au centre de masse \(G\) par :

\[\mathbb{I}_O = \mathbb{I}_G + M \cdot [\vec{OG}]_{\times}^2\]

où : - \(M\) : masse totale du solide - \([\vec{OG}]_{\times}\) : matrice antisymétrique associée au vecteur \(\vec{OG}\)

Formulation en composantes

En notant \(\vec{OG} = (a, b, c)\) :

\[I_{O,xx} = I_{G,xx} + M(b^2 + c^2)\]

\[I_{O,yy} = I_{G,yy} + M(a^2 + c^2)\]

\[I_{O,zz} = I_{G,zz} + M(a^2 + b^2)\]

\[I_{O,xy} = I_{G,xy} - Mab\]

\[I_{O,xz} = I_{G,xz} - Mac\]

\[I_{O,yz} = I_{G,yz} - Mbc\]

Application pratique

Le théorème de Steiner permet de calculer la matrice d'inertie en n'importe quel point si on connaît celle au centre de masse.

7. Matrices d'inertie de solides classiques

Barre homogène

Pour une barre homogène de masse \(M\) et longueur \(L\) selon l'axe \(x\), centré en \(G\) :

\[\mathbb{I}_G = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ML^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ML^2}{12} \end{pmatrix}\]

Cylindre homogène

Pour un cylindre homogène de masse \(M\), rayon \(R\) et hauteur \(h\), axe selon \(z\), centré en \(G\) :

\[\mathbb{I}_G = \begin{pmatrix} \frac{M(3R^2 + h^2)}{12} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{M(3R^2 + h^2)}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{MR^2}{2} \end{pmatrix}\]

Sphère homogène

Pour une sphère homogène de masse \(M\) et rayon \(R\), centré en \(G\) :

\[\mathbb{I}_G = \begin{pmatrix} \frac{2MR^2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2MR^2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2MR^2}{5} \end{pmatrix}\]

8. Tableau récapitulatif des formules

Moments d'inertie

Grandeur	Formule
Moment cinétique	\(\vec{L}_O = \mathbb{I}_O \cdot \vec{\omega}\)
Moment dynamique	\(\vec{\mathcal{M}}_O = \frac{d\vec{L}_O}{dt}\)
Équation de rotation	\(\mathbb{I}_O \cdot \vec{\alpha} = \vec{\mathcal{M}}_O\)

Matrice d'inertie

Élément	Définition
\(I_{xx}\)	\(\int (y^2 + z^2) \, dm\)
\(I_{yy}\)	\(\int (x^2 + z^2) \, dm\)
\(I_{zz}\)	\(\int (x^2 + y^2) \, dm\)
\(I_{xy}\)	\(\int xy \, dm\)
\(I_{xz}\)	\(\int xz \, dm\)
\(I_{yz}\)	\(\int yz \, dm\)

Théorème de Steiner

Relation	Formule
Moment principal	\(I_{O,ii} = I_{G,ii} + M \cdot d_{\perp,i}^2\)
Produit d'inertie	\(I_{O,ij} = I_{G,ij} - M \cdot d_i \cdot d_j\)

9. Cas particuliers importants

Rotation autour d'un axe principal

Si la rotation se fait autour d'un axe principal d'inertie d'indice \(i\) :

\[\mathcal{M}_i = I_i \cdot \alpha\]

Avantage : les autres composantes du moment sont nulles.

Solide avec symétries

Symétrie de révolution autour de l'axe \(z\)

La matrice prend la forme :

\[\mathbb{I} = \begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & I_r & 0 \\ 0 & 0 & I_z \end{pmatrix}\]

avec \(I_r = I_x = I_y\).

Symétrie par rapport à un plan

Les produits d'inertie perpendiculaires au plan d'inertie s'annulent.

10. Énergie cinétique de rotation

Expression générale

L'énergie cinétique d'un solide en rotation s'exprime par :

\[E_c = \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot \mathbb{I}_O \cdot \vec{\omega}\]

En composantes :

\[E_c = \frac{1}{2} (I_{xx}\omega_x^2 + I_{yy}\omega_y^2 + I_{zz}\omega_z^2 - 2I_{xy}\omega_x\omega_y - 2I_{xz}\omega_x\omega_z - 2I_{yz}\omega_y\omega_z)\]

Cas d'une rotation autour d'un axe principal

Si rotation autour d'un axe principal \(i\) :

\[E_c = \frac{1}{2} I_i \omega^2\]

11. Points clés à retenir

Matrice d'inertie : caractérise la distribution de masse du solide
Relation fondamentale : \(\vec{L}_O = \mathbb{I}_O \cdot \vec{\omega}\)
Axes principaux : diagonalisent la matrice d'inertie
Théorème de Steiner : outil essentiel pour les changements de point
Équation de rotation : \(\mathbb{I}_O \cdot \vec{\alpha} = \vec{\mathcal{M}}_O\)
Symétries : simplifient considérablement la matrice d'inertie
Énergie : expression quadratique en fonction de \(\vec{\omega}\)