Cinématique du Solide
1. Définitions fondamentales
Solide indéformable
Un solide est indéformable si la distance entre deux points quelconques du solide reste constante au cours du temps.
Repère de référence
- Repère fixe (ou repère galiléen) : \(\mathcal{R}_0\) - repère d'observation
- Repère lié au solide : \(\mathcal{R}_s\) - repère solidaire du solide
2. Champ de vitesse d'un solide
Définition générale
Le champ de vitesse d'un solide est la distribution de vecteurs vitesse de tous les points du solide à un instant donné.
Vitesse d'un point - Formule d'Euler
La vitesse d'un point \(M\) du solide s'exprime à partir de la vitesse d'un point \(A\) et du vecteur rotation instantanée :
où :
- \(\vec{v}_M\) : vitesse du point \(M\)
- \(\vec{v}_A\) : vitesse du point \(A\) (pôle choisi)
- \(\vec{\omega}\) : vecteur rotation instantanée (vecteur vitesse angulaire)
- \(\vec{AM}\) : vecteur de \(A\) vers \(M\)
Interprétation physique
Le champ de vitesse se décompose en :
- Vitesse de translation : \(\vec{v}_A\) (même pour tous les points)
- Vitesse de rotation : \(\vec{\omega} \times \vec{AM}\) (due à la rotation autour de \(A\))
3. Démonstration du champ de vitesse
Condition de rigidité
Pour un solide indéformable, on doit avoir : \(\(\frac{d}{dt}|\vec{AM}|^2 = 0\)\)
En développant : \(\(\frac{d}{dt}(\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = 2\vec{AM} \cdot \frac{d\vec{AM}}{dt} = 0\)\)
Donc : \(\(\vec{AM} \cdot (\vec{v}_M - \vec{v}_A) = 0\)\)
Déduction de la formule d'Euler
Cette condition implique que \((\vec{v}_M - \vec{v}_A)\) est perpendiculaire à \(\vec{AM}\), ce qui correspond à un produit vectoriel :
D'où : \(\(\vec{v}_M = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{AM}\)\)
4. Champ d'accélération d'un solide
Formule générale
L'accélération d'un point \(M\) du solide s'exprime comme :
Décomposition en deux vecteurs
Cas d'une rotation autour d'un axe fixe
Lorsqu'un solide tourne autour d'un axe fixe, l'accélération se décompose en deux composantes :
Accélération tangentielle (ou accélération de rotation)
où \(\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}\) est l'accélération angulaire.
Propriétés :
- Direction : perpendiculaire à \(\vec{AM}\)
- Magnitude : \(a_t = \alpha \cdot r\) où \(r = |AM|\) (rayon)
- Cause : variation du module de la vitesse angulaire
Accélération centripète (ou accélération radiale)
En utilisant la formule du double produit vectoriel : \(\(\vec{a}_c = -\omega^2 \vec{r}\)\)
où \(\vec{r}\) est le vecteur position perpendiculaire à l'axe de rotation.
Propriétés :
- Direction : dirigée vers l'axe de rotation
- Magnitude : \(a_c = \omega^2 \cdot r\)
- Cause : variation de la direction du vecteur vitesse
Démonstration détaillée
Pour un solide tournant autour d'un axe fixe, en différenciant la formule d'Euler :
En remplaçant \(\frac{d\vec{AM}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{AM}\) :
Avec \(\vec{a}_A = 0\) pour un axe fixe, on obtient :
5. Formule du changement de repère (Formule de Bour)
Énoncé
La formule de Bour relie les dérivées d'un vecteur dans deux repères de référence différents :
où : - \(\left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_0}\) : dérivée dans le repère fixe - \(\left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s}\) : dérivée dans le repère mobile - \(\vec{\omega}_{s/0}\) : vecteur rotation du repère mobile par rapport au repère fixe
Application à la vitesse
En appliquant la formule de Bour au vecteur position \(\vec{AM}\) :
Or, \(\left(\frac{d\vec{AM}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s} = 0\) car \(\vec{AM}\) est constant dans le repère lié au solide.
D'où : \(\(\vec{v}_M = \vec{\omega} \times \vec{AM}\)\)
6. Formules récapitulatives
Vitesse
| Élément | Formule |
|---|---|
| Champ de vitesse | \(\vec{v}_M = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{AM}\) |
| Vitesse en rotation pure | \(\vec{v}_M = \vec{\omega} \times \vec{OM}\) (avec \(O\) sur l'axe) |
| Norme (rotation pure) | \(v = \omega \cdot r\) |
Accélération
| Élément | Formule |
|---|---|
| Champ d'accélération | \(\vec{a}_M = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{AM} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{AM})\) |
| Accélération tangentielle | \(\vec{a}_t = \vec{\alpha} \times \vec{AM}\) ou \(a_t = \alpha \cdot r\) |
| Accélération centripète | \(\vec{a}_c = -\omega^2 \vec{r}\) ou \(a_c = \omega^2 \cdot r\) |
| Accélération totale (rotation pure) | \(\vec{a}_M = \vec{\alpha} \times \vec{OM} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{OM})\) |
Vitesses et accélérations angulaires
| Grandeur | Définition |
|---|---|
| Vitesse angulaire | \(\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}\) |
| Accélération angulaire | \(\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} = \frac{d^2\vec{\theta}}{dt^2}\) |
7. Cas particuliers importants
Rotation autour d'un axe fixe
Pôle choisi : \(O\) sur l'axe de rotation
En coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\) : - \(v_r = 0\) - \(v_\theta = \omega r\) - \(a_r = -\omega^2 r\) (centripète) - \(a_\theta = \alpha r\) (tangentielle)
Mouvement de translation pure
\(\vec{\omega} = \vec{0}\) pour tout point du solide
Mouvement hélicoïdal
Le solide combine rotation autour d'un axe et translation le long de cet axe.
où \(\vec{v}_{||}\) est la vitesse selon l'axe et \(\vec{r}_{\perp}\) la position perpendiculaire à l'axe.
8. Résumé graphique
Décomposition du champ de vitesse
Point A : pôle de réduction
↓
Vitesse en M = Vitesse de translation + Vitesse de rotation
↓ ↓ ↓
v⃗_M = v⃗_A + ω⃗ × AM⃗
Décomposition du champ d'accélération (rotation autour d'axe fixe)
Accélération en M = Accélération tangentielle + Accélération centripète
↓ ↓ ↓
a⃗_M = α⃗ × OM⃗ + ω⃗ × (ω⃗ × OM⃗)
Perpendiculaire à OM⃗ Dirigée vers l'axe
(change la direction) (change le module)
9. Points clés à retenir
- Formule d'Euler : base du champ de vitesse en cinématique du solide
- Décomposition de l'accélération : toujours deux composantes (tangentielle + centripète)
- Formule de Bour : outil fondamental pour les changements de repère
- Produit vectoriel : manipulation essentielle des vecteurs \(\vec{\omega}\) et \(\vec{\alpha}\)
- Indépendance du choix du pôle : la cinématique du solide ne dépend pas du pôle choisi pour l'accélération angulaire