Machine Synchrone : Modèle de Blondel et Angle Interne

Introduction

La machine synchrone est une machine électrique tournante à courant alternatif qui fonctionne à une vitesse déterminée par la fréquence du réseau. Elle est largement utilisée comme alternateur (génération d'électricité) ou comme moteur synchrone dans les applications industrielles.

Le modèle de Blondel (ou diagramme vectoriel de Blondel) est la représentation théorique fondamentale permettant d'analyser le comportement de la machine synchrone.

1. Principes Fondamentaux

1.1 Structure de la machine synchrone

┌─────────────────────────────────────────┐
│        MACHINE SYNCHRONE                │
├─────────────────────────────────────────┤
│ • Rotor : Aimant permanent ou bobinage  │
│ • Stator : Bobinage triphasé            │
│ • Entrefer : Entrefer constant          │
│ • Vitesse : Synchrone avec réseau       │
│         n = f / p (tr/min)              │
│         où f = fréquence (Hz)           │
│         et p = nombre de paires pôles   │
└─────────────────────────────────────────┘

1.2 Équation fondamentale

La tension générée par la machine synchrone (en alternateur) est :

\[E = \frac{p \Phi \omega}{2} = E_0 \sin(\omega t + \phi)\]

Où : - \(E\) = tension générée (V) - \(p\) = nombre de paires de pôles - \(\Phi\) = flux magnétique (Wb) - \(\omega\) = pulsation (rad/s) = \(2\pi f\) - \(E_0\) = amplitude de la tension (V)

2. Modèle de Blondel en Régime Linéaire

2.1 Schéma équivalent monophasé

Le modèle de Blondel représente la machine synchrone par un circuit électrique équivalent :

   I
   →
┌──●──────[X_s]────────┬─── U (tension aux bornes)
│                       │
●  Bobinage Stator    │
│ E (FEM)             │
└───────────────────────┘

Équation de base (par phase) :

\[U = E - j X_s I\]

Ou en module et phase :

\[U = E - j X_s I = E - (X_s I) \perp E\]

Où : - \(U\) = tension aux bornes (V) - \(E\) = force électromotrice (FEM) générée (V) - \(X_s\) = réactance synchrone (\(\Omega\)) - \(I\) = courant de ligne (A) - \(j\) = opérateur complexe (\(\sqrt{-1}\))

2.2 Hypothèses du modèle de Blondel

Entrefer constant : perméabilité magnétique homogène
Saturation négligée : loi linéaire flux-courant
Symétrie triphasée : analyse monophasée suffisante
Pas de pertes : résistance statorique nulle (hypothèse simplifiée)

3. L'Angle Interne (Angle de Charge)

3.1 Définition

L'angle interne (ou angle de charge \(\delta\)) est l'angle entre : - Le vecteur FEM \(\vec{E}\) (représente le champ rotorique) - Le vecteur tension \(\vec{U}\) (représente la tension du réseau)

         Axe imaginaire (j)
                 ↑
                 │     E (FEM)
                 │    /
                 │   / δ (angle interne)
                 │  /
      ───────────┼──────→ Axe réel
                 │
                 │ U (tension réseau)

3.2 Relation géométrique

En utilisant le diagramme de Blondel (diagramme vectoriel) :

\[\vec{U} = \vec{E} - j X_s \vec{I}\]

Cela signifie que la tension \(\vec{U}\) est obtenue en retranchant la chute de tension dans la réactance synchrone de la FEM.

La chute de tension \(X_s \vec{I}\) est orthogonale (perpendiculaire) au courant \(\vec{I}\).

3.3 Interprétation physique de l'angle \(\delta\)

Angle \(\delta\)	Signification	Comportement
\(\delta = 0°\)	Champ rotorique en phase avec tension statorique	Mode d'équilibre théorique
\(0° < \delta < 90°\)	Machine en mode générateur (alternateur)	FEM devance tension
\(\delta > 90°\)	Instabilité - Machine hors synchronisme	Perte de synchronisation
\(\delta = 90°\)	Limite de stabilité	Puissance maximale

4. Puissance et Couple en Fonction de \(\delta\)

4.1 Puissance active générée

La puissance active par phase est :

\[P = \frac{E \cdot U}{X_s} \sin \delta\]

En triphasé :

\[P_{3\phi} = \frac{3 E \cdot U}{X_s} \sin \delta\]

Où : - \(E\) = amplitude FEM (V) - \(U\) = amplitude tension réseau (V) - \(X_s\) = réactance synchrone (\(\Omega\)) - \(\delta\) = angle interne (rad)

4.2 Couple électromagnétique

Le couple est directement lié à la puissance :

\[T = \frac{P}{\omega} = \frac{P}{2\pi f / 60}\]

En régime quasi-stationnaire :

\[T = \frac{3 p E \cdot U}{X_s \omega} \sin \delta\]

4.3 Courbe de puissance

 P (puissance)
     ↑
 P_max │     ╱╲
       │    ╱  ╲
       │   ╱    ╲
       │  ╱      ╲
       │ ╱        ╲
       │╱__________╲____→ δ (angle)
       0°          90°

 • δ = 0° → P = 0 (équilibre)
 • δ = 45° → P ≈ 0.707 P_max
 • δ = 90° → P = P_max (limite stabilité)

Puissance maximale (limite de stabilité statique) :

\[P_{max} = \frac{3 E \cdot U}{X_s}\]

5. Cas Particuliers d'Étude

5.1 Machine à vide (sans charge)

Quand \(I = 0\) (pas de courant) : \(\(U = E\)\)

L'angle interne \(\delta = 0°\) (en théorie).

En pratique, la tension terminale \(U\) égale la FEM générée \(E\) à vide.

5.2 Machine en charge

Quand \(I \neq 0\) (courant débité) :

La chute de tension \(X_s I\) affecte la tension terminale :

\[U = E \cos \delta - X_s I \sin \phi_I\]

Où \(\phi_I\) est le déphasage du courant par rapport à la tension.

5.3 Régulation de tension

Pour maintenir une tension constante aux bornes, on doit ajuster la FEM \(E\) en agissant sur : - Courant d'excitation du rotor (cas machine classique) - Aimant permanent (cas PMSM)

6. Exemple Numérique

Données d'une machine synchrone

Paramètre	Valeur
Tension réseau	\(U = 400\) V
Fréquence	\(f = 50\) Hz
Puissance	\(P = 10\) kW
Réactance synchrone	\(X_s = 2\) Ω/phase
Nombre de pôles	\(p = 2\)

Calcul du flux et FEM

Vitesse de synchronisme : \(\(n = \frac{f}{p} = \frac{50}{1} = 50 \text{ tr/s} = 3000 \text{ tr/min}\)\)

Pulsation : \(\(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 314.16 \text{ rad/s}\)\)

Détermination de l'angle \(\delta\)

Pour \(P = 10\) kW = 10 000 W en triphasé :

\[P = \frac{3 E \cdot U}{X_s} \sin \delta\]

\[10000 = \frac{3 E \times 400}{2} \sin \delta\]

\[\sin \delta = \frac{10000 \times 2}{3 \times E \times 400} = \frac{20000}{1200 E}\]

Si \(E = 300\) V (exemple) :

\[\sin \delta = \frac{20000}{1200 \times 300} = \frac{20000}{360000} \approx 0.0556\]

\[\delta \approx 3.38°\]

7. Diagramme de Blondel Complet

Représentation vectorielle

Axe d'excitation (direction rotor)
              ↑
              │       E (FEM)
              │      /│
              │     / │
              │    /  │
              │   /   │ (réactance X_s)
              │  /    │
          ────┼─/─────┼─→ Axe de la tension (réseau)
              │δ      │
              │      U │
              │         

Relation :  E⃗ = U⃗ + jX_s I⃗

En diagramme :
• E = FEM générée (direction rotor)
• U = Tension réseau (référence)
• δ = Angle entre E et U
• X_s·I = Chute de réactance (perpendiculaire à I)

Cas Moteur vs Alternateur

Alternateur	Moteur
FEM \(E\) devance la tension \(U\)	Tension \(U\) devance la FEM \(E\)
\(\delta > 0°\) (E en avant)	\(\delta < 0°\) (E en arrière)
Génère la puissance	Consomme la puissance

8. Stabilité Dynamique et Critères

8.1 Critère de stabilité statique

La machine reste stable si :

\[\frac{\partial P}{\partial \delta} > 0\]

\[\frac{\partial P}{\partial \delta} = \frac{3 E \cdot U}{X_s} \cos \delta > 0\]

Condition : \(\cos \delta > 0\) ⟹ \(\delta < 90°\)

8.2 Stabilité limite

À \(\delta = 90°\) : \(\(\cos(90°) = 0\)\)

La machine perd sa capacité à ramener l'angle en cas de perturbation → instabilité.

8.3 Marge de stabilité

\[\text{Marge} = \frac{\delta_{max} - \delta_{fonctionnement}}{\delta_{max}}\]

Où \(\delta_{max} = 90°\) en régime quasi-stationnaire.

9. Effets de la Saturation Magnétique

Modèle affiné

En réalité, la saturation du noyau magnétique affecte :

Réactance synchrone : \(X_s(I)\) dépend du courant
FEM : non-linéarité avec courant d'excitation
Angle \(\delta\) : décalage plus important que prévu

Le modèle linéaire de Blondel devient une approximation valable pour petites variations autour du point de fonctionnement.

10. Applications Pratiques

Alternateurs (Génération)

Centrales électriques : turbines + alternateurs
Groupes électrogènes : moteurs thermiques + alternateurs
Éoliennes : turbines hydrauliques/éoliennes + générateurs synchrones

Moteurs Synchrones

Lecteurs de disques : précision de vitesse requise
Compresseurs : vitesse constante pour rendement optimal
Pompes : applications haute puissance, haute efficacité
Servomoteurs : asservissements haute performance

11. Résumé - Points Clés

Concept	Définition
Machine synchrone	Tourne à vitesse imposée par réseau (\(n = f/p\))
Modèle de Blondel	Représentation linéaire par FEM + réactance
Angle interne \(\delta\)	Angle entre FEM et tension réseau
Puissance	\(P = \frac{3EU}{X_s} \sin \delta\)
Limite stabilité	\(\delta = 90°\) (instabilité au-delà)
Réactance \(X_s\)	Paramètre clé (dépend de géométrie machine)
Régulation	Ajuster FEM (excitation) pour tension constante

12. Pour Aller Plus Loin

Lectures recommandées

Théorie complète : Étude des régimes transitoires et sub-transitoires
Réactances adaptées : \(X_d\) (axe direct), \(X_q\) (axe quadrature) pour machines anisotropes
Contrôle vectoriel : Asservissement en couples + courants pour drives synchrones
Stabilité réseau : Comportement multi-machines sur réseau interconnecté

Variations du modèle

Modèle 2-axes (Park) : Distinction directe/quadrature
Modèle avec saturation : Réactances variables
Modèle dynamique complet : Équations différentielles des flux

Références : - Sauer, P.W., & Pai, M.A. (1998). Power System Dynamics and Stability - Kundur, P. (1994). Power System Stability and Control - Chapman, S.J. (2005). Electric Machinery Fundamentals