Représentations des fonctions de transfert
Fonction de transfert harmonique
Définition
Pour un système linéaire de fonction de transfert \(H(p)\), la réponse harmonique est obtenue en remplaçant \(p\) par \(j\omega\) :
\(H(j\omega) = |H(j\omega)| \cdot e^{j\arg(H(j\omega))}\)
Avec :
- Module : \(|H(j\omega)|\) (gain)
- Argument : \(\arg(H(j\omega))\) ou \(\varphi(\omega)\) (phase)
Forme cartésienne
\(H(j\omega) = \text{Re}(H(j\omega)) + j\text{Im}(H(j\omega))\)
Forme polaire
\(H(j\omega) = |H(j\omega)| \angle \varphi(\omega)\)
Diagramme de Bode
Principe
Représentation du module et de la phase en fonction de la pulsation \(\omega\).
Caractéristiques
- Deux graphiques : Gain et Phase
- Axe des abscisses : \(\omega\) en échelle logarithmique (rad/s)
- Axe des ordonnées :
- Gain : \(20\log|H(j\omega)|\) en dB
- Phase : \(\arg(H(j\omega))\) en degrés
Avantages
- Lecture directe des marges de stabilité
- Asymptotes simples pour les systèmes du 1er ordre
- Composition graphique (addition des gains en dB)
- Identification facile des pôles et zéros
Construction par asymptotes
Système du 1er ordre : \(H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}\)
Gain :
- Basse fréquence (\(\omega \ll \frac{1}{\tau}\)) : \(20\log K\) (horizontal)
- Haute fréquence (\(\omega \gg \frac{1}{\tau}\)) : \(20\log K - 20\log(\omega\tau)\) (pente -20 dB/décade)
- Pulsation de coupure : \(\omega_c = \frac{1}{\tau}\) (cassure)
Phase :
- Basse fréquence : \(0°\)
- Haute fréquence : \(-90°\)
- À \(\omega_c\) : \(-45°\)
Système du 2ème ordre : \(H(p) = \frac{K\omega_n^2}{p^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2}\)
Gain :
- Basse fréquence : \(20\log K\) (horizontal)
- Haute fréquence : \(20\log K - 40\log(\frac{\omega}{\omega_n})\) (pente -40 dB/décade)
- Résonance si \(\xi < \frac{1}{\sqrt{2}}\) : pic à \(\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\)
Phase :
- Basse fréquence : \(0°\)
- À \(\omega_n\) : \(-90°\)
- Haute fréquence : \(-180°\)
Exemple : Système du 2ème ordre
Soit \(H(p) = \frac{100}{p^2 + 2p + 100}\)
Paramètres :
- \(\omega_n = 10\) rad/s
- \(\xi = 0.1\) (faible amortissement)
- \(K = 1\)
Diagramme de Bode :
Diagramme de Nyquist
Principe
Représentation de \(H(j\omega)\) dans le plan complexe pour \(\omega\) variant de \(0\) à \(+\infty\).
Caractéristiques
- Axe des abscisses : \(\text{Re}(H(j\omega))\)
- Axe des ordonnées : \(\text{Im}(H(j\omega))\)
- Courbe paramétrée par \(\omega\)
- Point critique : \((-1, 0)\)
Avantages
- Critère de stabilité de Nyquist (contournement du point critique)
- Lecture directe des marges de gain et de phase
- Vision globale du comportement fréquentiel
Lecture des marges
Marge de gain :
- Intersection avec l'axe réel négatif
- Distance au point \((-1, 0)\)
Marge de phase :
- Point où \(|H(j\omega)| = 1\) (cercle unité)
- Angle avec l'axe réel négatif
Exemple : Système du 2ème ordre
Soit \(H(p) = \frac{100}{p^2 + 2p + 100}\) avec \(\xi = 0.1\)
Diagramme de Nyquist :
Caractéristiques :
- Départ à \(H(0) = 1\) (axe réel)
- Pic de résonance pour \(\xi < 0.707\)
- Arrivée à l'origine quand \(\omega \to \infty\)
Diagramme de Black-Nichols
Principe
Représentation du gain en dB en fonction de la phase.
Caractéristiques
- Axe des abscisses : \(\arg(H(j\omega))\) en degrés
- Axe des ordonnées : \(20\log|H(j\omega)|\) en dB
- Courbe paramétrée par \(\omega\)
- Abaques : Courbes iso-gain et iso-phase en boucle fermée
Avantages
- Lecture directe des performances en boucle fermée
- Marges de stabilité visibles
- Facteur de résonance \(M_r\) et bande passante
- Utile pour la synthèse de correcteurs
Lecture des marges
Marge de gain :
- Point à \(-180°\)
- Distance verticale à l'axe 0 dB
Marge de phase :
- Point à 0 dB
- Distance horizontale à l'axe \(-180°\)
Exemple : Système du 2ème ordre
Soit \(H(p) = \frac{100}{p^2 + 2p + 100}\) avec \(\xi = 0.1\)
Diagramme de Black-Nichols :
Diagramme de Nichols (lieu de transfert en BF)
Principe
Similaire au Black-Nichols mais avec les abaques du système en boucle fermée.
Abaques
- Courbes iso-module : \(|T(j\omega)| = \frac{|H(j\omega)|}{|1 + H(j\omega)|}\) constant
- Courbes iso-phase : \(\arg(T(j\omega))\) constant
Utilisation
- Détermination du facteur de résonance \(M_r\)
- Lecture de la bande passante à -3 dB
- Synthèse de correcteurs
Comparaison des représentations
| Représentation | Avantages | Inconvénients | Usage principal |
|---|---|---|---|
| Bode | Simple, asymptotes, composition | 2 graphiques | Analyse, synthèse |
| Nyquist | Stabilité, vision globale | Lecture moins directe | Critère de stabilité |
| Black-Nichols | Performances BF, synthèse | Nécessite abaques | Synthèse de correcteurs |
| Nichols | Performances BF directes | Complexe | Analyse BF |
Exemple complet : Système du 2ème ordre
Fonction de transfert
\(H(p) = \frac{100}{p^2 + 2p + 100}\)
Forme canonique : \(H(p) = \frac{\omega_n^2}{p^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2}\)
Paramètres :
- \(\omega_n = 10\) rad/s
- \(\xi = 0.1\)
- \(K = 1\)
Calcul de \(H(j\omega)\)
\(H(j\omega) = \frac{100}{-\omega^2 + 2j\omega + 100}\)
Module : \(|H(j\omega)| = \frac{100}{\sqrt{(100-\omega^2)^2 + (2\omega)^2}}\)
Phase : \(\arg(H(j\omega)) = -\arctan\left(\frac{2\omega}{100-\omega^2}\right)\)
Points caractéristiques
| \(\omega\) (rad/s) | \(\|H(j\omega)\|\) | Gain (dB) | Phase (°) |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 1.00 | 0.0 | -0.1 |
| 1 | 1.01 | 0.1 | -1.2 |
| 5 | 1.33 | 2.5 | -7.6 |
| 10 | 5.00 | 14.0 | -90.0 |
| 20 | 0.33 | -9.5 | -168.7 |
| 100 | 0.01 | -40.0 | -179.9 |
Résonance
Pour \(\xi = 0.1 < \frac{1}{\sqrt{2}}\), il y a résonance :
Pulsation de résonance : \(\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\xi^2} = 10\sqrt{1-0.02} = 9.9\) rad/s
Facteur de résonance : \(M_r = \frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}} = \frac{1}{0.2\sqrt{0.99}} = 5.03\)
Gain de résonance : \(20\log(5.03) = 14\) dB
Bande passante à -3 dB
\(\omega_{BP} = \omega_n\sqrt{1-2\xi^2 + \sqrt{4\xi^4 - 4\xi^2 + 2}}\)
Pour \(\xi = 0.1\) : \(\omega_{BP} \approx 11.5\) rad/s
Systèmes élémentaires
Gain pur : \(H(p) = K\)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Gain constant \(20\log K\), phase nulle
- Nyquist : Point sur l'axe réel à \(K\)
- Black : Point à \((0°, 20\log K)\)
Intégrateur : \(H(p) = \frac{1}{p}\)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Pente -20 dB/déc, phase \(-90°\)
- Nyquist : Axe imaginaire négatif
- Black : Droite verticale à \(-90°\)
Dérivateur : \(H(p) = p\)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Pente +20 dB/déc, phase \(+90°\)
- Nyquist : Axe imaginaire positif
- Black : Droite verticale à \(+90°\)
1er ordre : \(H(p) = \frac{1}{1+\tau p}\)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Cassure à \(\omega_c = \frac{1}{\tau}\), pente -20 dB/déc
- Nyquist : Demi-cercle dans le plan inférieur
- Black : Courbe de \(0°\) à \(-90°\)
2ème ordre amorti : \(H(p) = \frac{\omega_n^2}{p^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2}\) (ξ = 0.7)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Pas de résonance (ξ > 0.707), pente -40 dB/déc
- Nyquist : Pas de boucle
- Black : Pas de pic
2ème ordre peu amorti : \(H(p) = \frac{\omega_n^2}{p^2 + 2\xi\omega_n p + \omega_n^2}\) (ξ = 0.1)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Bode : Résonance si \(\xi < 0.707\), pente -40 dB/déc
- Nyquist : Boucle si \(\xi < 0.707\)
- Black : Pic si \(\xi < 0.707\)
Système à retard : \(H(p) = e^{-\tau p}\)
Bode :
Nyquist :
Black :
- Module : \(|H(j\omega)| = 1\) (0 dB)
- Phase : \(\arg(H(j\omega)) = -\omega\tau\) (linéaire)
- Bode : Gain constant à 0 dB, phase = droite de pente \(-\tau\)
Correcteurs
Correcteur à avance de phase
Fonction de transfert : \(C(p) = \frac{1 + a\tau p}{1 + \tau p}\) avec \(a > 1\)
Points caractéristiques :
- Pulsation de phase maximale : \(\omega_m = \frac{1}{\tau\sqrt{a}}\)
- Phase maximale : \(\varphi_{max} = \arcsin\left(\frac{a-1}{a+1}\right)\)
- Gain à \(\omega_m\) : \(20\log(\sqrt{a})\) dB
Utilisation : Améliorer la marge de phase et la rapidité
Correcteur à retard de phase
Fonction de transfert : \(C(p) = \frac{1 + \tau p}{1 + a\tau p}\) avec \(a > 1\)
Points caractéristiques :
- Pulsation de phase minimale : \(\omega_m = \frac{1}{\tau\sqrt{a}}\)
- Phase minimale : \(\varphi_{min} = -\arcsin\left(\frac{a-1}{a+1}\right)\)
- Gain à \(\omega_m\) : \(-20\log(\sqrt{a})\) dB
Utilisation : Améliorer la précision statique sans dégrader la stabilité
Règles de tracé
Composition de systèmes
Pour \(H(p) = H_1(p) \cdot H_2(p)\) :
Bode :
- Gain : \(20\log|H| = 20\log|H_1| + 20\log|H_2|\) (addition)
- Phase : \(\arg(H) = \arg(H_1) + \arg(H_2)\) (addition)
Nyquist :
- Multiplication complexe (plus difficile)
Black :
- Pas de règle simple