Astuces et rappels en automatique

Pourquoi utiliser rad/s plutôt que Hz ?

Simplification mathématique

Avec \(\omega\) (rad/s) : * Fonction de transfert : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\) * Dérivée : \(\frac{d}{dt}\sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t)\) * Intégrale : \(\int\sin(\omega t)dt = -\frac{1}{\omega}\cos(\omega t)\)

Avec \(f\) (Hz) : * Fonction de transfert : \(H(j2\pi f) = \frac{1}{1 + j2\pi f RC}\) * Dérivée : \(\frac{d}{dt}\sin(2\pi ft) = 2\pi f\cos(2\pi ft)\) * Le facteur \(2\pi\) apparaît partout

Cohérence avec les exponentielles complexes

Signal sinusoïdal : \(s(t) = A\sin(\omega t) = \text{Im}(Ae^{j\omega t})\)

Avec \(\omega\) en rad/s, l'exponentielle complexe est directe. Avec \(f\) en Hz, il faudrait écrire \(e^{j2\pi ft}\).

Opérateurs différentiels

En automatique et traitement du signal : * Dérivateur : \(H(j\omega) = j\omega\) * Intégrateur : \(H(j\omega) = \frac{1}{j\omega}\)

Avec \(f\) : \(H(j2\pi f) = j2\pi f\) (facteur \(2\pi\) gênant)

Fréquence de coupure

Filtre RC passe-bas : * Fréquence de coupure : \(\omega_c = \frac{1}{RC}\) (rad/s) * Ou : \(f_c = \frac{1}{2\pi RC}\) (Hz)

La formule en rad/s est plus directe (pas de \(2\pi\)).

Convention en automatique

Les diagrammes de Bode utilisent \(\omega\) car : * Échelle logarithmique naturelle * Pulsations propres des systèmes : \(\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}\) (sans \(2\pi\)) * Marges de phase/gain définies en fonction de \(\omega\)

Conversion

\(\omega = 2\pi f\)

Exemple : * \(f = 50\) Hz → \(\omega = 2\pi \times 50 = 314\) rad/s * \(\omega = 1000\) rad/s → \(f = \frac{1000}{2\pi} \approx 159\) Hz

En pratique

Théorie : On utilise \(\omega\) (rad/s) pour simplifier les calculs
Mesures : On utilise \(f\) (Hz) car plus intuitif (50 Hz secteur, 1 kHz audio, etc.)
Diagrammes de Bode : Axe en rad/s ou Hz selon le contexte

Marges de stabilité

Définitions

Marge de gain \(M_G\)

Définition : Gain supplémentaire (en dB) que l'on peut ajouter avant que le système devienne instable.

Équation : À la pulsation de coupure à 180° (\(\omega_{180}\)), où \(\arg(H(j\omega_{180})) = -180°\) :

\(M_G = -20\log|H(j\omega_{180})|\) (dB)

Critère de stabilité : \(M_G > 0\) dB (typiquement \(M_G > 6\) dB)

Marge de phase \(M_\varphi\)

Définition : Phase supplémentaire (en degrés) que l'on peut retrancher avant que le système devienne instable.

Équation : À la pulsation de coupure à 0 dB (\(\omega_0\)), où \(|H(j\omega_0)| = 1\) (0 dB) :

\(M_\varphi = 180° + \arg(H(j\omega_0))\)

Critère de stabilité : \(M_\varphi > 0°\) (typiquement \(M_\varphi > 45°\))

Lecture sur diagramme de Bode

Marge de gain

Trouver \(\omega_{180}\) : pulsation où la phase = -180°
Lire le gain à cette pulsation : \(|H(j\omega_{180})|_{dB}\)
Calculer : \(M_G = -|H(j\omega_{180})|_{dB}\)

Graphiquement : * Sur le diagramme de gain, à \(\omega_{180}\) * Distance verticale entre la courbe et l'axe 0 dB * Si la courbe est en dessous de 0 dB → \(M_G > 0\) (stable)

Marge de phase

Trouver \(\omega_0\) : pulsation où le gain = 0 dB
Lire la phase à cette pulsation : \(\varphi(\omega_0)\)
Calculer : \(M_\varphi = 180° + \varphi(\omega_0)\)

Graphiquement : * Sur le diagramme de phase, à \(\omega_0\) * Distance verticale entre la courbe et l'axe -180° * Si la courbe est au-dessus de -180° → \(M_\varphi > 0\) (stable)

Lecture sur diagramme de Nyquist

Marge de gain

Méthode : 1. Trouver l'intersection de la courbe avec l'axe réel négatif 2. Mesurer la distance au point critique (-1, 0)

\(M_G = 20\log\left(\frac{1}{d}\right)\) où \(d\) = distance au point (-1, 0)

Graphiquement : * Distance entre le point d'intersection avec l'axe réel négatif et le point (-1, 0) * Plus le point est loin de (-1, 0), plus \(M_G\) est grande

Marge de phase

Méthode : 1. Trouver le point où \(|H(j\omega)| = 1\) (cercle unité) 2. Mesurer l'angle entre ce point et l'axe réel négatif

\(M_\varphi = 180° - \theta\) où \(\theta\) = angle du point avec l'axe réel positif

Graphiquement : * Angle entre le vecteur allant de l'origine au point sur le cercle unité * Et l'axe réel négatif

Lecture sur diagramme de Black-Nichols

Marge de gain

Méthode : 1. Trouver l'intersection de la courbe avec l'axe -180° 2. Lire l'ordonnée (gain en dB)

\(M_G = -\text{Gain}_{-180°}\)

Graphiquement : * Distance verticale entre le point à -180° et l'axe 0 dB * Si le point est en dessous de 0 dB → \(M_G > 0\)

Marge de phase

Méthode : 1. Trouver l'intersection de la courbe avec l'axe 0 dB 2. Lire l'abscisse (phase)

\(M_\varphi = 180° + \text{Phase}_{0dB}\)

Graphiquement : * Distance horizontale entre le point à 0 dB et l'axe -180° * Si le point est à droite de -180° → \(M_\varphi > 0\)

Exemple numérique

Soit \(H(j\omega) = \frac{100}{j\omega(1 + j\omega)(1 + 0.1j\omega)}\)

Calcul de \(M_G\)

Trouver \(\omega_{180}\) : résoudre \(\arg(H(j\omega)) = -180°\)
\(\arg(H(j\omega)) = -90° - \arctan(\omega) - \arctan(0.1\omega) = -180°\)
\(\arctan(\omega) + \arctan(0.1\omega) = 90°\)
Solution : \(\omega_{180} \approx 10\) rad/s
Calculer \(|H(j\omega_{180})|\) :
\(|H(j10)| = \frac{100}{10\sqrt{1+100}\sqrt{1+1}} \approx 0.7\)
\(|H(j10)|_{dB} = 20\log(0.7) \approx -3\) dB
Marge de gain :
\(M_G = -(-3) = 3\) dB

Calcul de \(M_\varphi\)

Trouver \(\omega_0\) : résoudre \(|H(j\omega)| = 1\)
\(\frac{100}{\omega\sqrt{1+\omega^2}\sqrt{1+0.01\omega^2}} = 1\)
Solution : \(\omega_0 \approx 3.16\) rad/s
Calculer \(\arg(H(j\omega_0))\) :
\(\arg(H(j3.16)) = -90° - \arctan(3.16) - \arctan(0.316)\)
\(\arg(H(j3.16)) \approx -90° - 72° - 18° = -180°\)... (système limite)
Marge de phase :
\(M_\varphi = 180° + (-180°) = 0°\) (système à la limite de stabilité)

Valeurs recommandées

Critère	Valeur minimale	Valeur recommandée
Marge de gain	> 0 dB	> 6 dB
Marge de phase	> 0°	> 45°

Compromis : * Marges élevées → Système stable mais lent * Marges faibles → Système rapide mais oscillant * Marges nulles → Système instable