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Fréquence propre — \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)

Problématique

Tout système mécanique soumis à une perturbation oscille naturellement à une fréquence qui lui est propre : la fréquence propre \(f_0\). Connaître \(f_0\) est indispensable en conception car si une excitation extérieure (balourd, choc, vibration de structure…) approche cette fréquence, le système entre en résonance et les amplitudes peuvent devenir destructrices.

La question est : de quoi dépend \(f_0\), et comment la calculer à partir des paramètres physiques ?

Modélisation du système

Schéma du système

Le comportement vibratoire d'un grand nombre de systèmes mécaniques se ramène à un modèle à un degré de liberté : une masse guidée en translation, rappelée par un ressort et freinée par un amortisseur.

flowchart LR
    bati(["Bâti\n— repère 𝓡₀ galiléen —"])

    bati -->|"Ressort\nraideur k \n[N/m]"| masse
    bati -->|"Amortisseur\ncoeff. c \n[N·s/m]"| masse

    masse(["Masse m [kg]\nposition G = x(t)·x̄"])

    force(["Excitation\nF(t)"])
    force -->|"→ x̄"| masse

Paramétrage

Paramètre Symbole Unité Rôle
Masse \(m\) kg Inertie (résistance à l'accélération)
Raideur \(k\) N/m Rappel élastique
Amortissement \(c\) N·s/m Dissipation d'énergie
Déplacement \(x(t)\) m Paramètre de position (depuis équilibre)
Excitation \(F(t)\) N Action extérieure

Le repère \(\mathcal{R}_0\) est supposé galiléen. Le déplacement \(x(t)\) est mesuré depuis la position d'équilibre statique.

Application du PFD — Théorème de la résultante dynamique

Le Principe Fondamental de la Dynamique s'écrit sous forme de torseur :

\[\left\{\mathcal{D}_{S/\mathcal{R}_0}\right\} = \sum_i \left\{\mathcal{T}_{i \to S}\right\}\]

En translation pure selon \(\vec{x}\), la projection de la résultante dynamique donne le Théorème de la Résultante Dynamique (TRD) :

\[\boxed{m\,\ddot{x} = \sum F_{\text{ext}, \vec{x}}}\]

Inventaire des actions mécaniques projetées sur \(\vec{x}\)

Action Expression projetée Signe
Ressort (rappel élastique) \(-k\,x\) Négatif (rappel vers équilibre)
Amortisseur (frottement visqueux) \(-c\,\dot{x}\) Négatif (s'oppose au mouvement)
Excitation extérieure \(+F(t)\) Positif (moteur)

Équation du mouvement

\[m\,\ddot{x} = -k\,x - c\,\dot{x} + F(t)\]

Soit, sous la forme canonique :

\[\boxed{m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + k\,x = F(t)}\]

C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Les trois paramètres physiques \(m\), \(c\) et \(k\) apparaissent explicitement.

Nature du second membre selon le contexte

La fréquence propre \(f_0\) est une caractéristique intrinsèque du système, indépendante de la façon dont il est mis en mouvement.

Cas Second membre Source du mouvement
Oscillations libres (choc, palette dans un camion…) \(= 0\) Conditions initiales \(x(0)\), \(\dot{x}(0)\)
Réponse forcée \(= F(t)\) Force extérieure appliquée directement
Excitation par la base \(= F_\text{base}(t)\) Mouvement du bâti (plancher, châssis, sol…)

Passage dans le domaine de Laplace

En appliquant la transformée de Laplace avec des conditions initiales nulles :

\[m\,s^2 X(s) + c\,s\,X(s) + k\,X(s) = F(s)\]

La fonction de transfert en déplacement est :

\[H(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m\,s^2 + c\,s + k}\]

Mise sous forme canonique du second ordre

On factorise par \(k\) au dénominateur :

\[H(s) = \frac{1/k}{\dfrac{m}{k}\,s^2 + \dfrac{c}{k}\,s + 1}\]

Par identification avec la forme canonique \(\dfrac{H_0}{\dfrac{s^2}{\omega_0^2} + \dfrac{2\xi}{\omega_0}s + 1}\), on pose :

\[\frac{m}{k} = \frac{1}{\omega_0^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}} \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
\[\frac{c}{k} = \frac{2\xi}{\omega_0} \quad \Rightarrow \quad \xi = \frac{c}{2\sqrt{k\,m}}\]

La fonction de transfert s'écrit finalement :

\[\boxed{H(s) = \frac{1/k}{\dfrac{s^2}{\omega_0^2} + \dfrac{2\xi}{\omega_0}\,s + 1}}\]

Interprétation physique

La démarche complète peut se résumer ainsi :

flowchart TD
    A["<b>Modélisation</b>\nSchéma, paramétrage x(t),\nrepère 𝓡₀ galiléen"]
    B["<b>Inventaire des actions</b>\nRessort −kx, Amortisseur −cẋ,\nExcitation F(t)"]
    C["<b>PFD — forme torseur</b>\n{𝒟_S/R₀} = Σ{𝒯_ext→S}"]
    D["<b>TRD — projection sur x̄</b>\nmẍ = ΣF_ext,x"]
    E["<b>Équation du mouvement</b>\nmẍ + cẋ + kx = F(t)"]
    F["<b>Laplace</b>\nH(s) = 1/(ms² + cs + k)"]
    G["<b>Forme canonique</b>\nω₀ = √(k/m)     ξ = c/(2√km)"]

    A --> B --> C --> D --> E --> F --> G

    style A fill:#e8f4f8,stroke:#2196F3
    style G fill:#e8f5e9,stroke:#4CAF50
    style D fill:#fff3e0,stroke:#FF9800

Rôle de \(k\) et \(m\)

\[f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
  • \(k\) grand (structure rigide) → rappel fort → oscillations rapides → \(f_0\) élevée
  • \(m\) grand (masse importante) → inertie forte → oscillations lentes → \(f_0\) faible

Fréquence propre et amortissement

\(f_0\) est définie indépendamment de l'amortissement \(c\). C'est la fréquence des oscillations libres sans frottement (\(c = 0\), \(\xi = 0\)).

En présence d'amortissement, la fréquence des oscillations effectives est légèrement inférieure : \(\(f_d = f_0\sqrt{1-\xi^2}\)\) Pour les systèmes peu amortis (\(\xi \ll 1\)), on a \(f_d \approx f_0\).

Résonance

Lorsque la fréquence d'une excitation sinusoïdale approche \(f_0\), l'amplitude de la réponse croît fortement. Ce phénomène de résonance est critique en dimensionnement : les fréquences d'excitation doivent être éloignées de \(f_0\).

Tableau récapitulatif

Grandeur Expression Dépendances
Pulsation propre \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) \(k\) et \(m\) uniquement
Fréquence propre \(f_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\) \(k\) et \(m\) uniquement
Facteur d'amortissement \(\xi = \dfrac{c}{2\sqrt{km}}\) \(c\), \(k\), \(m\)
Fréquence amortie \(f_d = f_0\sqrt{1-\xi^2}\) \(k\), \(m\), \(c\)